Utiliser le théorème de Thalès

Ce que tu vas apprendre

Identifier des triangles dans une configuration avec droites parallèles et calculer une longueur proportionnelle.

Vérifier la configuration

Dans le triangle ABC, on place M sur [AB] et N sur [AC], avec (MN) parallèle à (BC). Le théorème de Thalès permet alors d’écrire AM/AB = AN/AC = MN/BC. Cette fiche traite de cette configuration de triangles emboîtés. Avant tout calcul, note les alignements et le parallélisme : les rapports ne sont pas valables dans n’importe quelle figure.

Respecter les côtés correspondants

Dans les trois rapports, on compare une longueur du petit triangle AMN à la longueur correspondante du grand triangle ABC. On conserve cet ordre partout. Écris le rapport qui contient la longueur cherchée et un autre rapport dont les deux valeurs sont connues. On peut alors utiliser un coefficient de proportionnalité ou un produit en croix.

Distinguer théorème et réciproque

Le théorème utilise un parallélisme déjà connu pour obtenir des rapports égaux. La réciproque sert à prouver le parallélisme à partir d’alignements dans un ordre cohérent et de rapports égaux. Les noms des points et leur position doivent rester précis dans la rédaction.

Un exemple, étape par étape

AB = 9 cm, AM = 6 cm et BC = 12 cm, avec M sur [AB], N sur [AC] et (MN) parallèle à (BC). Thalès donne MN/12 = 6/9 = 2/3. Donc MN = 12 × 2/3 = 8 cm. Le petit triangle a bien des côtés plus courts que le grand.

Le piège à éviter

Ne mélange pas un rapport petit/grand avec un rapport grand/petit. Appuie-toi sur les triangles correspondants, pas seulement sur la position des lettres dans la formule.

À toi d’expliquer

Dans la configuration étudiée, AM = 4 cm, AB = 10 cm et AC = 15 cm. Calcule AN en explicitant le rapport utilisé.

Voir une démarche possible

Comme (MN) est parallèle à (BC), avec M sur [AB] et N sur [AC], Thalès donne AN/AC = AM/AB. Donc AN/15 = 4/10 et AN = 15 × 4/10 = 6 cm.

Les trois repères à retenir

Dans la configuration emboîtée étudiée, les droites (MN) et (BC) sont parallèles, avec M sur [AB] et N sur [AC].
AM/AB = AN/AC = MN/BC dans cette configuration.
Elle permet de démontrer un parallélisme lorsque ses conditions d’alignement et de rapports sont réunies.

Avant de passer au quiz, essaie de redire la méthode sans regarder la fiche. Relis l’exemple si tu hésites : une réponse expliquée compte davantage qu’une réponse devinée.